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Surfaces de Riemann Hefei 2024

Présentation

  • Enseignant: Charles Favre

  • courriel: charles dot favre at polytechnique dot edu

En présentiel:

Lundi et Mercredi: 19.30 – 21.55 (CST/BJT) en trois fois 45 minutes entrecoupées de 5 minutes de pause

Novembre: 4, 6, 11, 14, 18, 20, 25, 26;

Décembre: 2, 4;

Online:

Lundi et Mercredi: 12.30 – 14.55 (CET) (connection sur zoom possible à partir de 12h15)

Décembre: 9, 11, 16, 18, 23, 25, 30;

Janvier: 1.

Synopsis

Les surfaces de Riemann sont des espaces sur lesquels on peut définir naturellement la notion de fonction holomorphe. Ces objets se situent au carrefour de multiples champs mathématiques: géométrie différentielle, théorie des nombres, systèmes dynamiques, ou la géométrie amgébrique. Le but de ce cours est de proposer une introduction à divers aspects géométriques des surfaces de Riemann et de couvrir en particulier le théorème de Riemann-Roch pour les surfaces de Riemann compactes ainsi que le théorème d’uniformisation.

  • Prérequis:

    • théorie des fonctions holomorphes dans le plan complexe
    • théorie des revêtements, homologie
    • notion sur les formes différentielles

  • Evaluation: l’évaluation sera basée sur un examen final.

Notes de cours

La version du 23 décembre 2024: Notes de cours

Plan de chaque chapitre

I. Propriétés fondamentales des surfaces de Riemann

  • Rappels sur les fonctions holomorphes dans le plan complexe

  • Surfaces de Riemann (définition)

  • Premiers exemples: sphère de Riemann, courbes elliptiques, sous-variétés affines

  • Références

II. Théorème d’uniformisation et existence d’objets holomorphes

  • Théorème de Koebe-Poincaré

  • Action de groupe holomorphe et quotient de surfaces de Riemann

  • Classification des surfaces de Riemann

  • Calcul sur les surfaces de Riemann (forme, différentielle, produit star)

  • Formes de carré intégrables et existence de fonctions méromorphes

  • Références

    • Uniformisation des surfaces de Riemann. Retour sur un théorème centenaire. Henri-Paul de Saint-Gervais.
    • Riemann surfaces. Chapter II. H.M Farkas et I. Kra.
    • Introduction aux surfaces de Riemann. N. Bergeron et A. Guilloux.

III. Surfaces de Riemann compactes

  • Topologie des surfaces de Riemann (groupe fondamental et genre topologique)

  • Homologie des surfaces de Riemann et décomposition de sa cohomologie de De Rham.

  • Caractéristique d’Euler Poincaré et Formule de Riemann-Hurwitz

  • Diviseurs et théorème de Riemann-Roch

  • Théorie des faisceaux et dualité de Serre

  • Références

    • Quelques aspects des surfaces de Riemann. Chapitre V, VII & VIII. Eric Reyssat.
    • Riemann surfaces. Chapter IV. H.M Farkas et I. Kra.
    • Lectures on Riemann surfaces. Chapter 2. O. Forster

Examens et devoirs

Exercices

Contenu détaillé de chaque cours

Cours 1: 4 Novembre 2024

  • Rappel sur les fonctions holomorphes

  • Exercice: groupe des transformations conformes du plan complexe du disque avec le Lemme de Schwarz. Transformations de Möbius. Biholomorphisme entre le demi-plan de Poincaré et le disque.

Cours 2: 6 Novembre 2024

  • Définition des surfaces de Rieman, atlas holomorphe, fonctions holomorphes entre surfaces de Riemann, construction de la sphère de Riemann, et des courbes elliptiques.

  • Exercice: groupes des transformations du demi-plan de Poincaré et fonctions méromorphes et holomorphes sur la sphère de Riemann

Cours 3: 11 Novembre 2024

  • Structure de surfaces de Riemann sur les courbes algébriques de sur C², théorème d’uniformisation, structure de surface de Riemann sur les quotients (énoncé et séparation).

  • Exercice: applications holomorphes de la sphère de Riemann, et modèle multiplicatif d’une courbe elliptique

Cours 4: 14 Novembre 2024

  • Structure de surface de Riemann sur les quotients (construction des cartes holomorphes)

  • Exercice: théorie de Weierstrass (fonctions P)

Cours 5 : 18 Novembre 2024

  • Classification des surfaces de Riemann à partir du théorème d’uniformisation

  • Exercice: Théorie de Weierstrass (plongement des courbes elliptiques)

Cours 6 : 25 Novembre 2023

  • Calcul sur les surfaces de Riemann (formes différentielles, décomposition en type, star-produit, théorème de Stokes)

  • Exercice: compactification des surfaces de Riemann algébriques hyperelliptiques (succint)

Cours 7 : 26 Novembre 2024

  • 1-formes L2, théorème de décomposition, structure des 1-formes harmoniques

  • Démonstration du théorème de décomposition des formes L2 et lemme de Weyl

  • Exercices: calcul sur le star produit et caractérisation des formes holomorphes; surfaces de Riemann dont le groupe fondamental est abélien

Cours 8 : 2 Décembre 2024

  • Existence de fonctions harmoniques avec un ou deux pôles, existence de 1-formes différentielles méromorphes, et de fonctions méromorphes non constantes.

Cours 9 : 3 Décembre 2024

  • Exercices: formes locale des formes méromorphes; fonctions harmoniques

Cours 10 : 4 Décembre 2024

  • Surfaces de Riemann compactes: triangulation, classification topologique groupe fondamental, genre, caractéristique d’Euler

  • exercice: théorème de Montel

Cours 11 : 9 Décembre 2024

  • Théorème de Riemann-Hurwitz et décomposition des 1-formes

  • exercices d’application de Riemann-Hurwitz

  • Notes de cours 11

Cours 12 : 11 Décembre 2024

  • Décomposition de la cohomologie et existence de 1-formes holomorphes à période fixée

  • exercice: groupes d’automorphismes de genre au moins 2

  • Notes de cours 12

Cours 13 : 16 Décembre 2024

  • Algébrisation des surfaces de Riemann compactes et groupe des diviseurs (diviseur principaux et canoniques)

  • exercice: surfaces hyperelliptiques

  • Notes de cours 13

Cours 14 : 18 Décembre 2024

  • Diviseurs effectifs et espace de sections, théorème de Riemann-Roch, application caractérisation surfaces de genre 0

  • exercice: applications du théorème de Riemann-Roch (caractérisation surfaces de genre 1 début)

  • Notes de cours 14

Cours 15 : 23 Décembre 2024

  • théorie des faisceaux: définition, morphismes, faisceaux image et noyau

  • exercice: caractérisation surfaces de genre 1 (fin)

  • Notes de cours 15

Cours 16 : 24 Décembre 2024

  • cohomologie de Cech, théorème de Leray, suite exacte longue

  • théorème de comparaison de DeRham

  • exercice: Riemann-Hurwitz par les 1-formes méromorphes, et surfaces hyperelliptiques de genre 2

  • Notes de cours 16

Cours 17 : 26 Décembre 2024

  • théorème de comparaison de Dolbeault et théorème de dualité de Serre

  • exercice: étude de la surface y^7 = x^2(x-1)

  • Notes de cours 17

Cours 18 : 1 Janvier 2025